로또 1등 확률은 얼마나 희박할까: 등수별 확률 계산

로또 6/45는 1부터 45까지의 숫자 중 6개를 고르는 복권입니다. 추첨에서는 당첨번호 6개와 보너스 번호 1개를 뽑습니다. 1등은 6개를 모두 맞혀야 하고, 그 확률은 8,145,060분의 1입니다. 이 숫자가 어디서 나오는지, 그리고 실제로 얼마나 희박한지 계산해 보겠습니다.

8,145,060은 어떻게 나올까

45개에서 순서와 상관없이 6개를 고르는 방법의 수는 45×44×43×42×41×40을 6×5×4×3×2×1로 나눈 값, 즉 8,145,060가지입니다. 추첨기는 이 가운데 한 조합을 뽑습니다. 내가 산 한 게임이 그 조합과 정확히 같을 확률이 1등 확률입니다.

중요한 점은 모든 조합의 확률이 똑같다는 것입니다. 1, 2, 3, 4, 5, 6도, 지난주 당첨번호도, 생일로 만든 번호도 모두 8,145,060분의 1입니다. 자동으로 사든 수동으로 고르든 마찬가지입니다.

등수별 당첨 확률

2등은 당첨번호 5개와 보너스 번호를 맞히는 경우입니다. 6개 당첨번호 중 어느 5개를 맞히느냐에 따라 6가지 조합이 있어 1등보다 정확히 6배 쉽습니다. 3등은 5개를 맞히고 나머지 하나가 보너스가 아닌 38개 중 하나인 경우라 6×38=228가지입니다. 5등 이상 무엇이든 당첨될 확률은 약 2.4%로, 평균 42.0게임에 한 번꼴입니다.

매주 사면 얼마나 걸릴까

매주 1게임씩 산다면 1등이 나올 때까지 평균 15만 6,103년이 걸립니다. 매주 5게임이면 3만 1,221년, 10게임이면 1만 5,610년입니다. 평균이 그렇다는 뜻이라 첫 주에 당첨될 수도 있지만, 대부분은 평생 사도 당첨되지 않습니다.

직접 확인해 보고 싶다면 실험실의 1등 시뮬레이션을 돌려 보세요. 매주 새 추첨을 하고 1등이 나올 때까지 실제로 반복해, 걸린 시간과 쓴 돈을 보여 줍니다.

다른 확률과 비교하면

• 동전을 23번 던져 모두 앞면이 나올 확률은 8,388,608분의 1입니다. 로또 1등이 이보다 아주 조금 쉽습니다.
• 주사위 9개를 던져 모두 1이 나올 확률은 10,077,696분의 1로, 로또 1등보다 조금 어렵습니다.
• 8,145,060게임을 모두 사면 1등이 확실히 나오지만 비용은 81억 4,506만 원입니다. 최근 52회 평균 1등 당첨금은 21.2억 원이고, 같은 번호를 산 사람이 있으면 그마저 나눠야 합니다.

확률을 높이는 방법이 있을까

게임을 더 많이 사는 것 말고는 없습니다. 10게임을 사면 확률이 10배가 되지만, 여전히 814,506분의 1입니다. 과거 당첨번호의 통계나 “잘 나오는 패턴”은 다음 회차 확률을 바꾸지 못합니다. 제1회부터 제1244회까지 번호별 출현 횟수도 우연의 범위 안에 있습니다(카이제곱 검정 p = 0.863).

바꿀 수 있는 것은 1등이 됐을 때 받는 금액입니다. 많은 사람이 고르는 번호로 1등이 되면 당첨금을 여럿이 나눠 받기 때문입니다. 자세한 내용은 사람들이 가장 많이 고르는 번호에서 다룹니다.